1993. február 27.
Apáczai Csere János Tanítóképző Főiskola, Győr

  1. Melyik nagyobb

    vagy

  2. Egy gazdaság öt telepe között a következő távolságokat ismerjük (a távolságok a telepek bejáratai között értendők) : Almástól a Barackos 2 km-re van, innden Cseresznyés távolsága 1650 m. Cseresznyéstől Dinnyésig az út 8 és fél km, onnan Epres 3 és 3/4 km. Végül Eprestől Almásig 1100m-t kell megtennünk. Mennyire van Eprestől a Barackos?

  3. Az ABCD paralelogramma AB, AD oldalát és AC átlóját egy egyenes rendre az E, F, G pontokban metszi. Határozzuk megy az értékét, ha és .

  4. Határozzuk meg annak a 60 egységnyi kerületű téglalapnak a területét, amelynek az átlói a lehető legrövidebbek!

  5. Hogyan kell egy nagy négyzethálós papíron 99 mezőt kijelölni úgy, hogy a kapott (nem feltétlenül összefüggő) alakzat kerülete a lehető legkisebb legyen?

     


  1. Melyik nagyobb

    vagy ?

  2. Oldjuk meg a egyenlőtlenséget!

  3. Egy háromszög egyik szöge 105o, e szög csúcsából kiinduló magasságvonal a szemközti oldalt illetve hosszúságú részekre osztja. Számítsuk ku a háromszög másik két szögét!

  4. Az ABC háromszög BC oldalával párhuzamos egyenes az AB oldalt a P, az AC oldalt a Q pontban metszi. Az AC oldal felezőpontja legyen F, a PQ és az FB egyenesek metszéspontja R. Bizonyítsuk be, hogy PR+PQ állandó!

  5. Tíz rabló egy többzáras ládában őrzi a kincsét. Minden rablónak bizonyos zárakhoz van kulcsa, egy zárhoz esetleg többnek is. A kulcsok úgy vannak elosztva, hogy semelyik három rabló se tudja a birtokában levő kulcsokkal kinyitni a ládát, de bármely négy közülük már hozzá tud férni a kincshez. Legalább hány zár szükséges a fenti feltételek teljesüléséhez?

     


  1. Egy nagyobb terjedelmű könyv oldalszámozásához 2184 db számjegyre van szükség. Hány lapos a könyv?

  2. Adott egy r sugarú kör, amely egy 60o-os szög szárait érinti. Ez a kör két pontban metszi a 60o-os szög szögfelezőjét. Mekkora távolságban vannak ezek a pontok a szög csúcsától?

  3. Hány (x;y) számpár elégíti ki az egyenlőtlenséget, ahol x és y egész szám?

  4. Négy leány futóversenyen vett részt. A verseny után mindegyiket megkérdezték, melyik helyen végzett.

    Anna: Nem lettem sem első, sem utolsó
    Bella: Nem lettem első
    Csilla: Első lettem
    Dóra: Én lettem az utolsó

    Valaki, aki a verseny látta azt mondta:

    A négy válasz közül három igaz, egy hamis!

    Ki mondott valótlant? Ki volt az első? (Holtverseny nem volt.)

  5. Ha és , akkor bizonyítsa be, hogy: , ahol a, b, c, d valós számok!

     


  1. Adott hét szám. Bármelyik négyet kiválasztva összegük nagyobb a többi három összegénél. Bizonyítsuk be, hogy mindegyik szám pozitív!

  2. Oldjuk meg a valós számok halmazán:

  3. Három kör középpontja A, B, C; mindegyik kör sugara r, ahol 1<r<2. Bármely két kör középpontjának távolsága 2. Ha B' az A és C középpontú köröknek a B középpontú körön kívül eső metszéspontja, továbbá C' az A és B középpontú köröknek a C középpontú körön kívül eső metszéspontja, akkor mekkora a B'C' szakasz hossza?

  4. Az ABC hegyesszögű háromszög B csúcsából induló magasság egyenese az AC átmérőjű kört X és Y pontokban, a C csúcsból induló magasság egyenese az AB átmérőjű kört az U és Z pontokban metszi. Bizonyítsuk meg, hogy X, Y, U, Z pontok egy körön vannak!

  5. Van-e olyan n egész szám, amely mellet az kifejezés egy természetes szám negyedik hatványával egyenlő?