1994. február 26.
Erdészeti és Faipari Egyetem, Sopron

  1. Ábrázoljuk az alábbi függvények grafikonját:

    Jellemezzük a függvényeket az alábbi szempontok szerint:

    a.) értelmezési tartomány
    b.) értékkészlet
    c.) tengelymetszetek
    d.) szélsőérték
    e.) a függvény menete!

  2. Egy trapézt a két átlója mentén négy háromszögre bontottunk. A párhuzamos oldalakon nyugvó háromszögek területe T és t területegység. Fejezzük ki a trapéz területét T és t segítségével!

  3. Egy téglalap oldalai 12 illetve 24 cm-esek. A téglalapba két egyenlő sugarú k1 és k2 kört írunk, amelyek egymást, valamint a téglalap két hosszabb és egy rövidebb oldalát is érintik. Határozzuk meg annak a körnek a sugarát, amely kívülről érinti a k1 és k2 köröket, s a hosszabbik oldalt belülről!

  4. Egy tehergépkocsinak mind a négy kerekére új gumiabroncsot szereltek. Egy abroncsot akkor tekintünk teljesen elkopottnak, ha hátsó keréken 15000 km-t futott, vagy ha az első keréken 25000 km-t. Mennyit futhat a kocsi a négy abroncs teljes elkopásáig, ha alkalmas időben az első abroncspárt felcserélik a hátsó abroncspárral?

  5. Adott 2n+1 darab különböző egész szám, mindegyik abszolút értéke legfeljebb 2n-1. Bizonyítsuk be, hogy van közöttük kettő olyan, amelyek összege nulla. Igaz-e, hogy van közöttük három is, amelyek összege nulla?

     


  1. 1-től kezdve 1994-ig leírtuk a pozitív egész számokat. Hányszor írtuk le közben az 1-es számjegyet?

  2. Melyek azok a való számok, amelyekre :

  3. Az egyenlet gyökei X1 és X2, az egyenleté X3 és X4. Bizonyítsuk be, hogy

  4. Egy tehergépkocsinak mind a négy kerekére új gumiabroncsot szereltek. Egy abroncsot akkor tekintünk teljesen elkopottnak, ha hátsó keréken 15000 km-t futott, vagy ha az első keréken 25000 km-t. Mennyit futhat a kocsi a négy abroncs teljes elkopásáig, ha alkalmas időben az első abroncspárt felcserélik a hátsó abroncspárral?

  5. Kivágtunk két egybevágó négyzetlapot: az egyiket kék, a másikat piros színű papírból. Ezután úgy helyeztük egymásra őket, hogy együttes határvonaluk (konkáv) 16 szög legyen. Bizonyítsuk be, hogy e 16-szög kék határvonalának hossza egyenlő a piros határvonalának hosszával!

     


  1. Ábrázoljuk az függvényt!

  2. Oldjuk meg :

  3. András és Béla sakkoznak. Andrásnak 6 másodperccel kevesebb, Bélának 10 másodperccel több időre van szüksége ahhoz, hogy saját sakkfiguráit felállítsa a sakktáblára, mint amennyi időre akkor lenne szükség, ha az összes sakkfigurát közösen raknák fel. Mennyi idő alatt rakja fel ki-ki a saját sakkfiguráit?

  4. Adott a síkon az AB szakasz. A szakasz tetszőleges P pontja két részre bontja a szakaszt. Mind a két rész fölé rajzoljunk a szakasz azonos oldalán négyzeteket. Határozzuk meg a két négyzet középpontját összekötő szakasz felezőpontjainak halmazát?

     


  1. Mutassuk meg, hogy minden háromszög területe mindig kisebb a köré írt kör területének felénél!

  2. Mutassuk meg, hogy a tizes számrendszerben felírt

    alakú szám négyzetszám. Határozzuk meg az A négyzetgyökének tízes számrendszerbeli alakját?

  3. x mely értékeire lesz a

    szorzat értéke a legnagyobb, és mekkora a maximális értéke?

  4. Egy a oldalú szabályos hatszög és egy a oldalú szabályos háromszög síkjai párhuzamosak. A kilenc csúcs alkalmas csoportosításban további három szabályos háromszöget és három négyzetet határoz meg. Határozzuk meg ezen nyolc lappal határolt konvex test térfogatát!