1995. február 25.
Hunyadi János Gimnázium, Csorna

  1. Állapítsa meg a következő függvények értelmezési tartományát és értékkészletét !

  2. Melyik tört nagyobb

  3. Az AB átmérőjű, O középpontú kört belülről érinti az A pontban a K középpontú kör. B-ből a belső körhöz húzott érintő érintési pontja C. Az AC egyenes a nagyobb kört E-ben metszi. Bizonyítsuk be, hogy EBC szög=EAB szöggel !

  4. Fából készült pirosra festett téglatestet - melynek minden éle egész szám - lapjaival párhuzamos síkokkal szétvágtuk egységnyi élű kis kockákra. Azt tapasztaltuk, hogy azon kis kockák száma, amelyeknek van piros lapjuk, megegyezik azon kis kockák számával, emelyeknek egyetlen lapja sem piros. A téglatest egy csúcsából kiinduló két éle 6 ill. 16 egység hosszúságú. Mekkora a harmadik éle?

  5. A B telephelyről C-be vezető út 3 km-es emelkedővel kezdődik, majd 5 km hosszban vízszintesen halad és 6 km-es lejtővel ér célba, melynek lejtése egyenlő az első szakaszéval. Egy utas B-ből indult és a félúton megfordulva 3 óra 56 perc múlva visszatért B-be. Pihenő után 3 óra 27 perc alatt ért C-be, végül visszafelé az utat 3 óra 51 perc alatt tette meg. Mekkora sebességgel haladt sík úton, fel- és lefelé?

     


  1. Az m paraméter mely értékeire van a

    egyenletnek két különböző valós gyöke?

  2. Oldja meg a következő egyenletet :

  3. Bizonyítsa be, hogy sem 1994, sem 1995 nem lehet az egész együtthatós másodfokú egyenlet diszkriminánsa. Lehet-e 1996?

  4. Tükrözzük az ABC hegyesszögű háromszög M magasságpontját a BC oldal F felezési pontjára, a tükörkép legyen M´. Mekkora a háromszög köré írható kör sugara, ha tudjuk, hogy az AB oldal 12 egység és BM´ 5 egység?

  5. Egy expresszvonat előz egy tehervonatot. Az expressz sebessége ugyanannyiszor nagyobb a tehervonaténál, mint ahányszor hosszabb az egymás melletti elhaladásuk ideje annál, amennyit szemben haladva egymás mellett töltenének. Mekkora ez az arányszám?

     


  1. Egy 100 x 100 -as négyzetrácsban befestjük a páratlan sorszámú oszlopokat és sorokat. A két átlóban elhelyezkedő négyzetek közül hány lesz festetlen?

  2. Az U,V,W,számok egészek és páronként relatív prímek. Bizonyítsuk be, hogy B=UV+UW+VW és a C=UVW is relatív prímek!

  3. Egy derékszögű háromszög két befogója 1 ill 2 egység. A 2 egység befogó felezőpontját összekötöttük a befogó végére, rá merőlegesen állított 2 egység hosszú szakasz másik végpontjával. A derékszögű csúcsból merőlegest állítottunk az átfogóra. E két pont mekkora részekre osztja az átfogót?

  4. Mekkora az átlója annak a téglalapnak, amelynek oldalhosszai egész számok, területének és kerületének mérőszáma pedig egyenlő?

  5. Oldjuk meg az egész számok halmazán :

     


  1. Oldjuk meg

    egyenlőtlenséget!

  2. Egy körbe írható deltoid két oldalának aránya 1:2. Az átlók megrajzolásával keletkező négy derékszög szögfelezőinek a deltoid kerületén levő metszéspontjai legyenek rendre A,B,C,D. Határozzuk meg az ABCD négyszög és a deltoid területének arányát!

  3. Van-e olyan csupa pozitív tagokból álló végtelen a1, a2, a3,... sorozat, amelyben minden n-re ?

  4. Oldjuk meg a valós számok halmazán az alábbi egyenletrendszert

  5. Milyen x értékekre minimális a

    kifejezés. Mennyi a mínimum értéke?