1996. február 24.
Krúdy Gyula Középiskola, Győr

  1. Mi az a háromjegyű szám, amely 12-szer akkora, mint számjegyeinek összege?

  2. Oldjuk meg a valós számok halmazán a következő egyenletet:

    ,

    ahol egészrészt, törtrészt jelent!

  3. Mit mondhatunk arról a háromszögről, amelynek oldalaira a

    teljesül?

  4. Egy róka üldözőbe vesz egy nyulat. Kezdetben a róka háromszor olyan gyorsan fut, mint a nyúl. Amikor a nyúl észreveszi, hogy a róka elért odáig, ahol ő volt kezdetben, megkétszerezi a sebességét. Tudjuk, hogy a róka összesen 120 m utat tesz meg, amíg utoléri a nyulat. Milyen távolról vette üldözőbe a nyulat?

     


  1. Oldja meg a következő egyenletet a valós számok halmazán!

  2. Bizonyítsuk be, hogy ha egy háromszög egyik oldala mértani középarányos a másik két oldal között, akkor a vele szemben fekvő szög nem lehet nagyobb 60o-nál!

  3. Egyenlő szárú háromszögbe négyzetet írunk úgy, hogy a négyzet egyik oldala a háromszög alapján, egy-egy csúcsa pedig a háromszög szárain legyen. A négyzet területe a háromszög területének része. Számítsuk ki a háromszög szögeit!

  4. Valaki a lottószelvényein mindig egy 2 x 2-es négyzetben levő 4 számot és egy ehhez a négyzethez csak csúcsával csatlakozó négyzetben levő számot tesz meg. (Pl. a 40, 41, 55, 56, 69 számokat.) Mennyi ideig kell játszania, míg minden ilyen lehetőséget egyszer megtesz, ha hetenként 4 szelvényt tölt ki?

     


  1. Bizonyítsuk be, hogy minden pozitív a és b valós számra

  2. Határozzuk meg p és q prímszámokat, ha fennáll az alábbi egyenlőség :

    >

  3. Egy derékszögű trapézba érintő kör írható. A trapéz párhuzamos oldalainak hossza a és c, a rájuk merőleges szár hossza b. Igazoljuk, hogy :

  4. Egy téglalapot az oldalaival párhuzamos egyenesekkel feldarabolunk. Hány részre kell osztani ezekkel az egyenesekkel az oldalakat, ha azt akarjuk, hogy a téglalap oldalai mentén elhelyezkedő darabok száma egyenlő legyen a belső darabok számával?

     


  1. Oldjuk meg az alábbi egyenleteet a valós számok halmazán

  2. Az x, y, z valós számokra teljesülnek :

    Milyen z értékre lesz az x2+y2 összeg értéke maximális? Határozzuk meg a maximális értéket!

  3. Legyenek egy háromszög oldalai a, b és c. A b oldallal szemben fekvő szöget jelöljük b-vel. Igazoljuk, hogy ha a

    egyenlőség teljesül, akkor a háromszög szögére fennáll a vagy a egyenlőségek valamelyike!

  4. Az ABCD szimmetrikus trapéz átlóinak O metszéspontjából az AB alap 60o-os szög alatt látszik. Bizonyítsuk be, hogy az OA, OD és BC szakaszok X, Y és Z felezőpontjai egy egyenlőoldalú háromszög csúcsai!