1998. február 28.
Kossuth lajos Gimnázium, Mosonmagyaróvár

  1. Gabi két ritka énekesmadarat vett. Később eladta őket, mindkettőt ugyanannyiért. Így egyiken 20%-ot vesztett, a másikon 20%-ot nyert. de még így is összesen 10 Ft-ot vesztett. Menniyért vette és adta a madarait?

  2. Az ABC derékszögű háromszög BAC szögfelezőjéje a BC befogót D-ben, az AB átfogóra B-ben emelt merőlegest E-ben metszi. Bizonyítsuk be, hogy a BDE háromszög egyenlő szárú. Szerkesszük meg a háromszöget, ha adva van a c átfogó és a BD=d szakasz.

  3. Oldja meg az

    egyenletet!

  4. Az alakú háromjegyű szám kilencszerese az alakú négyjegyű szám. Bizonyítsa be, hogy az osztható 125-tel!

  5. Mely valós x számra veszi fel a kifejezés a minimumát?

     


  1. Mekkora az egyenlő oldalú kúp, egyenlő oldalú henger és gömb köbtartalmának aránya, ha felszíneik egyenlők?

  2. Mely p valós paraméter értékére lesz az

    függvény legnagyobb helyettesítési értéke 8?

  3. Egy derékszögű háromszög egyik szöge 15o. Bizonyítsa be, hogy ekkor a háromszög T területe: T=2m2, ahol m az átfogóhoz tartozó magasság.

  4. Oldjuk meg a következő egyenletet:

    .

  5. Oldjuk meg a következő egyenletet:

    .

     


  1. Számítsuk ki az alábbi összeget:

  2. Egy falu lakosainak száma négyzetszám. Ha 100 új lakos települne be, akkor a lélekszám 1-gyel nagyobb lenne egy négyzetszámnál. Ha további 100 lakos költözne a faluba, akkor a lakók száma újra négyzetszám lenne. Hány lakosa van a falunak?

  3. Egy négyzet alakú és 1m2 területű céltáblára 49 találatot lőttek. Bizonyítsuk be, hogy van 4 darab olyan találati pont, amelyek között bármely kettőnek a távolsága kisebb 36 cm-nél!

  4. Legyen az ABC háromszög a, b és c oldalaihoz írható kör sugara ra, rb és rc. Jelöljük a háromszög kerületének a felét s-sel. Bizonyítsuk be, hogy akkor

    !

     


  1. Az m valós paraméter mely értékeire lesz az

    egyenlet minden valós gyöke kisebb 2-nél?

  2. Legyenek a, b, c pozitív valós számok, melyekre a+b+c=6. határozzuk meg az ab2c3 kifejezés maximumát!

  3. Az ABC egyenlő szárú (AB=AC) háromszögben az AC oldal felezőmerőlegese a BC egyenest a P pontban metszi. Mutassuk meg, hogy egyenlőség teljesül, ahol R a háromszög köré írt kör sugarát, az alapon fekvő szöget és d(PC) a PC szakasz hosszát jelenti!

  4. Az ABCDA1B1C1D1 kocka élének hossza 4 egység. Tekintsük a DD1 és D1-hez közelebbi negyedelő pontját, a CDD1C1 lap középpontját és az A csúcsot. Ezen három pont által meghatározott sík a kocka lapjaiból egy síkidomot metsz ki. Számítsuk ki ennek a síkidomnak a kerületét!