1999. február 27.
Handler Nándor Szakképző iskola, Sopron

  1. Bizonyítsa be, hogy egy paralelogramma átlóinak négyzetösszege megegyezik a paralelogramma oldalainak négyzetösszegével!

  2. Valakit a gyerekeiről kérdezget az ismerőse az utcán:

    - Hány gyereke van önnek?
    - Három.
    - Hány évesek?
    - Életkoruk szorzata 225, összege azonos az épületnek a házszámával.
    A kérdező felnézett a házszámra, gondolkodott egy kicsit, majd így szólt:
    - A legidősebb fiú?
    - Igen.
    - Köszönöm, akkor tudom a választ.
    Ön is tudja?

  3. Ábrázolja és jellemezze a valós számok halmazán értelmezett függvényt!

  4. Két teherautó egyszerre indul egymással szemben A-ból illetve B-ből. 8 óra 40 perckor B-től 6 2/5 km-re találkoznak. Ha az első autó 1/12 órával később, a második pedig 1/8 órával előbb indult volna el, akkor ugyancsak 8 óra 40 perckor, de A-tól 6 2/5 km-re találkoztak volna. Mekkora volt a sebességük és mekkora az AB út hossza?

  5. Oldja meg a következő egyenletrendszert:

      

     


  1. Határozza meg az a, b, c számokat úgy, hogy

    azonosság legyen!

  2. Egy háromszög oldalainak aránya . Bizonyítsa be, hogy akkor a legnagyobb szög kétszer akkora, mint a legkisebb szög!

  3. Egységnyi oldalú négyzet mindegyik csúcsa körül egységnyi sugarú negyedkörívet rajzolunk, amely összeköti a vele szomszédos csúcsokat. Számítsa ki a négy körcikk közös részének területét!

  4. Bizonyítsa be a következő egyenlőtlenséget ():

    !

  5. Van-e olyan konvex négyszög, amelyet az átlói négy olyan háromszögre osztanak, melyek területe valamilyen sorrendben 1, 2, 3 illetve 4 területegység?

     


  1. Igazoljuk, ha és háromnál nagyobb prímszámok, akkor osztható 24-gyel!

  2. Az ABC derékszögű háromszög AB átfogójának felezőpontja F. Az A csúcsból induló belső szögfelező a CF szakaszt M-ben, a BC befogót E-ben metszi. Mekkorák a háromszög szögei, ha az EC és EM szakaszok hossza egyenlő?

  3. Oldjuk meg a valós számok halmazán az alábbi egyenletet:

    !

  4. Egy derékszögű háromszög befogóira, mint átmérőkre kifelé félköröket szerkesztünk. Bizonyítsuk be, hogy annak a négyzetnek a területe, amelynek oldala a két félkör közös érintőszakasza, a derékszögű háromszög területével egyenlő (közös érintkező szakasz: a két félkör közös érintőjén az érintési pontokat összekötő szakasz).

     


  1. Igazoljuk, hogy a a és b tetszőleges valós számok, akkor:

  2. Egy háromszögben legyen . Tudjuk még, hogy , ahol a, b, c a háromszög oldalai és r a háromszög köré írt kör sugara. Számítsuk ki a háromszög és szögének nagyságát.

  3. Mely x, y valós számok elégítik ki az alábbi egyenlőtlenséget, ha,  :

  4. Bizonyítsuk be, hogy bármely háromszögben , ahol a háromszög magasságai, r pedig a beírható kör sugara!