2000. február 26.
Krúdy Gyula Középiskola, Győr

  1. Egy tízes számrendszerben felírt négyjegyû számból kivonjuk azt a háromjegyû, majd kétjegyû, végül egyjegyû számot, amelyet az eredeti szám utolsó, utolsó két, illetve utolsó három jegyének elhagyásával kapunk. Melyik volt ez a négyjegyû szám, ha a kivonások elvégzése után 1763 maradt?

  2. Oldja meg a valós számok halmazán a következõ egyenletet:

  3. Egy derékszögû háromszög kerülete 30cm, az átfogóhoz tartozó magasság 6cm. Mekkorák az oldalai?

  4. Az ABC szabályos háromszög belsejében vegyünk fel egy P pontot. P-bõl bocsássunk merõlegeseket az oldalakra (a merõleges vetületek a D, E és F pontok). Bizonyítsa be, hogy AF+CE+BD=s, ahol s a háromszög kerületének felét jelöli.

  5. Bizonyítsa be, hogy egy 10cm sugarú körlemezt nem fedhetünk le két darab 9,9cm sugarú körlemezzel!

     


  1. Egy áruházból 7 darab 3 tonnás teherautóval kell elszállítani 50 csomagot. Az elsõ csomag 370 kg, a második 372 és minden következõ 2 kg-mal nehezebb az elõtte levõnél. El lehet-e szállítani egy fordulóval az összes csomagot, ha egyetlen kiló túlterhelést sem engedünk meg?

  2. Válaszoljunk!

    a.) Hány darab hatjegyû szám létezik?
    b.) Hány olyan hatjegyû szám van, amelyben pontosan egy 5-ös szám szerepel?
    c.) Hány olyan hatjegyû szám van, amelyben legalább egy 5-ös számjegy szerepel?
    d.) Hány olyan hatjegyû szám van, amelyben pontosan egy darab 0 van?
    e.) Hány olyan hatjegyû szám van, amelyben legalább egy darab 0 van?

  3. Oldja meg a

    egyenletet a való számok halmazán!

  4. Határozza meg az

    függvény minimumát!

  5. Vegyük fel az ABC háromszög AB oldalán az E, AC oldalán az F pontot úgy, hogy teljesüljön. Bizonyítsa be, hogy ekkor E és C BF-tõl mért távolságának mértani közepe nem nagyobb, mint !

     


  1. Egy tizes számrendszerben felírt négyjegyû számból kivonjuk azt a háromjegyû, majd kétjegyû, végül egyjegyû számot, amelyet az eredeti szám utolsó, utolsó kettõ, illetve utolsó három számjegyének elhagyásával kapunk. Mi volt az eredeti szám, ha a kivonások után 1778-at kapunk?

  2. Határozzuk meg azt a másodfokú egészegyütthatós polinomot, amelyre és , valamint és teljesül!

  3. Legyen ABCD négyzet területe 1 egység. Jelölje P az AB oldal negyedelõpontját, Q a BC oldal harmadolópontját és R a CD oldal felezõpontját. Határozzuj meg a PQR háromszög területét!

  4. Az ABC háromszögben a CBA szög =45o. Jelöljük ki a BC oldalon a P pontot úgy, hogy BP:PC=1:2 és a CPA szög =60o legyen. Mekkora az ABC háromszög másik két szöge?

     


  1. Az a, b, c való számokra teljesül, hogy és . Számítsuk ki értékét!

  2. Oldjuk meg az alábbi egyenletet a természetes számok halmazán:

    !

  3. Az ABC háromszögben a C csúcsból induló magasságvonal, súlyvonal és belsõ szögfelezõ az ACB szöget négy egyenlõ részre osztja. Bizonyítsuk be, hogy az ABC háromszög derékszögû!

  4. Az ABC derékszögû háromszögben (BAC szög=90o) megrajzoljuk az egyenest és megszerkesztjük a CAD szög és az ABD szög szögfelezõit. Ezek a szögfelezõk a BC és AD egyeneseket E és F pontokban metszik. Bizonyítsuk be, hogy EF párhuzamos AC-vel!