2001. február 24.
Krúdy Gyula Középiskola, Győr

  1. Melyek azok a természetes számok, amelyekkel a 45360-at elosztva hányadosul egy pozitív egész szám harmadik hatványát kapjuk és a maradék 0?

  2. Melyek azok a pontok a síkon, amelyek koordinátáira teljesül, hogy

    .

    Ábrázolja a megoldáshalmazt!

  3. Egy téglatest élei egész számok, egyik éle 6 egység. Mekkorák az élek, ha a téglatest felszínének és térfogatának mérõszáma egyenlõ?

  4. Az R sugarú kör egy félkörnél kisebb körcikkébe beírt kör sugara r, a körcikket határoló körív végpontjait összekötõ húr hossza 2a. Bizonyítsa be, hogy

    .

  5. Bizonyítsa be, hogy az a és b pozitív valós számokra

    teljesül.

     


  1. Oldja meg a egyenletet!

  2. Bizonyítsa be, hogy tetszõleges valós számpárok esetén fennáll az

    egyenlõtlenség!

  3. A p, q, r páratlan prímszámokról tudjuk, hogy

    .

    Mekkora a három prímszám szorzata?

  4. Egy háromszög egyik csúcsából induló magasságvonal és súlyvonal három egyenlõ részre osztja a szöget. Igazolja, hogy a háromszög derékszögû!

  5. a) Hány négyzet látható egy 8x8-as sakktáblán? (A négyzet oldalai párhuzamosak a sakktábla széleivel!)

    b) Hány olyan téglalap látható a sakktáblán, amely nem négyzet?

     


  1. Hány pozitív egész számpár elégíti ki az

    egyenlet?

  2. A p, q, r páratlan prímszámokról tudjuk, hogy

    .

    Mekkora a három prímszám szorzata?

  3. Az ABCD négyzet AB oldalának A-hoz közelebbi negyedelõ pontja legyen E. Az EC szakasz, mint átmérõ fölé rajzolt kör mekkora részekre bontja az AD illetve a DC oldalt?

  4. Az ABC hegyesszögû háromszög C csúcsánál 45o-os szög van. Bizonyítsuk be, hogy a háromszög magasságpontjának a C csúcstól mért távolsága egyenlõ az AB oldal hosszával!

     


  1. Igazoljuk, hogy az szám osztható 2000-rel!

  2. Bizonyítsuk be, hogy tetszõleges pozitív a szám esetén:

    Milyen a-ra teljesül az egyenlõség?

  3. Legyen egy szabályos tetraéder éleinek hosszúsága egység. Igazoljuk, hogy a tetraéder bármely belsõ pontjának a tetraéder lapjaitól mért távolságai reciprokértékeinek összege nem kisebb, mint 16.

  4. A C-ben derékszögû ABC háromszög BAC szögének szögfelezõje a BC befogót D-ben, a C-bõl induló magasságot F-ben metszi. Az F ponton átmenõ, CB-vel párhuzamos egyenes az AB átfogót G-ben metszi. Bizonyítsuk be, hogy a CFGD négyszög rombusz!