2002. február 23.
Széchenyi István Gimnázium, Sopron

  1. Melyikaz a két szám, amelynek összege, szorzata és hányadosa megegyezik?

  2. Hány megoldása van az egyenletnek?

  3. Egy 120o-os szög csúcsa, mint középpont köré egység sugarú kört rajzolunk. Számítsa ki annak a körnek a sugarát, amely az egység sugarú kört belülről érinti, és érinti a szög szárait!

  4. Egy tepsi süteményt a tepsiben darabolunk fel annak széleivel párhuzamosan, széltől szélig haladó vágásokkal. Nevezzük a szélek mentén keletkező darabokat "rossz"-nak, a többit "jó"-nak. Hány vágás esetén tudjuk a süteményt úgy adagolni, hogy minden adag egy "jó" és egy "rossz" darabból álljon?

  5. Egy 8x8-as sakktábla mezőibe a bal felső sarokból indulva balról jobbra, felülről lefelé haladva beírtuk az 1, 2, 3, …. 64 természetes számokat. Ezután a tábla mezőit minden lehetséges módon letakartunk egy 2x2-es négyzetet. Hány esetben lesz a letakart négyzetben levő számok összege osztható 3-mal?

     


  1. Bizonyítsa be, hogy minden valós a és b számra teljesül!

  2. Határozza meg a p paraméter értékét úgy, hogy az egyenlet x1 és x2 gyökeire teljesüljön!

  3. Az ABCD trapéz párhuzamos oldalai AB és CD (AB>CD), az alapokra merőleges szára AD. A trapéz AC átlója egyenlő az AB oldallal, AD szára pedig a DC oldallal. A C csúcsból a BC szárra bocsátott merőleges az AD szárat az F pontban metszi. Mekkora a trapéz területe, ha DF=1 egység?

  4. Három, egymás után következő páratlan szám négyzetének összege négyjegyű szám, amelynek minden számjegye azonos. Melyek ezek a számok?

  5. Oldja meg a valós számok halmazán az

    egyenletet!

     


  1. Adott egy egységnyi oldalhosszúságú négyzet. A négyzet oldalaon jelöljük ki egy-egy pontot. A kijelölt négy pont által alkotott négyszög oldalainak hosszúsága legyen a, b, c ,d. Igazoljuk, hogy

  2. Keressük meg azokat a különböző p, q, r, s pozitív prímszámokat, amelyekre:

    Mennyi ezeknek a prímszámoknak a szorzata?

  3. Milyen pozitív n-re lesz négyzetszám az kifejezés?

  4. Az ABCD négyzet AB, BC, CD, DA oldalainak felezőpontjai legyenek rendre E, F, G, H. Igazoljuk, hogy ha P az AF és DE egyenesek metszéspontja, Q pedig az AG és BH egyenesek metszéspontja, akkor a P és Q pontok rajta vannak a C középpontú és BC sugarú körön!

  5. Az ABCD trapéz párhuzamos oldalao AB és CD úgy, hogy AB>CD. Határozzuk meg a BC oldalon az E pontot úgy, hogy az ABE háromszög és az ADCE négyzet területe egyenlő legyen!

     


  1. Oldjuk meg a valós számpárok halmazán az alábbi egyenletet!

  2. Legyenek p és q különböző pozitív prímszámok. Ha összeg is prímszám, akkor mennyi a összeg értéke?

  3. Igazoljuk, hogy a összeg egész szám!

  4. Bizonyítsuk be, hogy egy háromszög akkor és csak akkor egyenlőszárú, ha van olyan kör, amelyik érinti a háromszög két oldalát és az ezen oldalakhoz tartozó két súlyvonalát!

  5. Egy T területű háromszög belsejében adott egy tetszőleges M pont. Húzzunk párhuzamosokat a háromszög oldalaival M-en keresztül. Így három közös M csúccsal rendelkező háromszög keletkezik. Legyen ezen háromszögek területe t1, t2, t3. Határozzuk meg M pont azon helyzetét, melyre a t1+t2+t3 összeg a legkisebb!