1997. február 22.
Felsőbüki Nagy Pál Gimnázium, Kapuvár

  1. Határozza meg azokat a kétjegyű számokat, amelyeket jegyeik összegével elosztva a hányados 7, a maradék pedig 6.

  2. Egy trapéz egyik oldala 12, a vele párhuzamos oldal és a magasság összege 30 egység. Hogyan kell megválasztani a magasságot, hogy a trapéz területe maximális legyen?

  3. Bizonyítsa be, hogy tetszőleges x valós számra fennáll a következő összefüggés

  4. Ábrázolja az

    függvény grafikonját!
  5. Bizonyítsa be, hogy ha egy háromszög magasságai ma, mb, mc, a beírt kör sugara pedig r, akkor

     


  1. 1987 db különböző pozitív egész szám összege 3948167. Bizonyítsa be, hogy van közöttük legalább két páros szám!

  2. Egy autóbusznak egy útján 322,5 kg/utas volt a kihasználtsági arány, vagyis az üres kocsi tömegéből ennyi esett egy utasra. Visszafelé 18-cal több utas indult a busszal, így az arány 187,5 kg/utas lett. Mennyi lesz az arány, ha még 7 utas felszáll és így minden férőhely foglalt lesz?

  3. Az ABCDA'B'C'D' kocka B' csúcsának a C' csúcsra vonatkozó tükörképe legyen M. Az MA'B sík a kockából egy négyszöget metsz ki. Mekkora ennek a négyszögnek a területe, ha a kocka éle 10 cm?

  4. Bizonyítsa be, hogy ha valamely x, y valós számpárra

    ,

    akkor

    .

    Mikor áll fenn egyenlőség?
  5. Oldja meg a következő egyenletet:

    (Bármely valós szám esetén a jelenti azt a legnagyobb egész számot, amely nem nagyobb a-nál.)

     


  1. Két zsebemben összesen 480 forint van. Ha az egyikből átteszünk annyit a másikba, amennyi eredetileg a másodikban volt, és ezután a másodikból átteszünk annyit az elsőbe, amennyi az utóbbiban maradt, akkor a két zsebemben ugyanannyi pénz lesz. Mennyi pénz volt eredetileg a két zsebemben?

  2. Az ABC derékszögű háromszögben BAC szög egyenlő 30o. Jelöljük a háromszögbe írható kör középpontját K-va, az AB átfogó felezőpontját F-vel! Igazoljuk, hogy a CK szakasz hossza egyenlő a KF szakasz hosszával!

  3. Melyik az a tizes számrendszerbeli négyjegyű szám, amelyik alakú és számjegyeire teljesül, hogy valamint ?

  4. Az ABC egyenlőszárú derékszögű háromszögben (a C-nél levő szög a derékszög) a C csúcsból húzott CC1 egyenes merőleges az AA1 súlyvonalra. Milyen arányban osztja fel a C1 pont az AB szakaszt?

     

 

  1. Oldjuk meg a valós számpárok halmazán a következő egyenletet!

  2. Igazoljuk, hogy tetszőleges x, y és z pozitív valós számra, amelyre egyenlőség fennáll, teljesül az egyenlőtlenség!

  3. Egy gúla alaplapja téglalap. Oldalélei egyenlők egymással és az alaplap egyik élével. Az alaplap másik hosszúságú élét változtatva, mely esetben lesz a gúla térfogata maximális?

  4. Az ABC hegyesszögű háromszögben megrajzoljuk az AC-re merőleges BE szakaszt ( ) és a BC-re merőleges EF szakaszt ( ). Legyen D az AB oldal belső pontja úgy, hogy az ACD szög és az ACB szög összege 90o teljesüljön. Jelöljük a CD és a BE szakasz metszéspontját G-vel. Bizonyítsuk be, hogy EF szakasz felezi a GC szakaszt!

     


Képek a versenyről